今天我们来学习九年级数学上册π的估计的认识这一个章节，我们可以从以下方面对课文内容进行讲解！
π的估计：
随机投针方法
考虑服从（0，1）区间上均匀分布的独立的随机变量X与Y，因此，二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为
f(x,y)={█(1,0<x<1,0<y<1@0, 其他 )┤
则P{X^2+Y^2≤1}=π/4。
考虑边长为1的正方形，以一个角为圆心，1为半径的1/4圆弧。然后，在正方形内等概率地产生n个随机点(x_i,y_i )，i=1,2,…,n，即x_i和y_i是（0，1）上均匀分布的随机数，设n个点中有k个点落在1/4圆内，即有k个点(x_i,y_i )满足x_i^2+y_i^2≤1。则当n→∞有如下关系，
因此，π的估计为4k/n。编写R程序：MC1程序：
MC1 <- function(n) {
k<-0;x<-runif(n);y<-runif(n)
for (i in 1:n){
if (x[i]^2+y[i]^2<1)
k<-k+1
}
4*k/n
}
在窗口：> source("MC1.R")
> MC1(100000)
得：[1] 3.14268
精度分析：
随机投点方法，是进行n次试验，当n充分大时，以随机变量k/n作为期望值E(X)的近似估计，k是n次试验中成功的次数。
若一次投点试验的成功概率为p，并以
X_i={█(1，表明试验成功@0，表明试验失败)┤
那么一次试验成功的均值与方差为
E(X_i )=p
Var(X_i )=p(1-p)
若进行n次试验，其中k次试验成功，则k为具有参数为(n, p)的二项分布。此时，随机变量k的估值为
p ̅=k/n
显然，随机变量p ̅的均值和方差满足
E(p ̅ )=p
Var(p ̅ )=p(1-p)/n
因而标准差S=√(p(1-p)/n )，当p=0.5时，标准差达到最小。
下面讨论当试验次数n取多大时，不等式|p ̅-p|<ε的概率不小于1-α，即
P{|p ̅-p|<ε}=1-α (1)
由中心极限定理可知，当n→∞时，(p ̅-p)/S渐近于标准正态分布N(0,1)，因此有
P{|p ̅-p|/S<Z_(α/2) }=1-α (2)
其中Z_(α/2)正态分布的上α/2分位点。比较式(1)和式(2)，得到
ε=Z_(α/2) S=Z_(α/2) √(p(1-p)/n ) (3)
从而有
n≥ (p(1-p))/ε^2 Z_(α/2)^2 (4)
考虑置信度为0.05，精度要求为0.01的情况下，p= π/4=0.785，ε=0.01/4，查表得Z_(α/2)=1.96，因此
n=⌊(p(1-p))/ε^2 Z_(α/2)^2 ⌋=⌊(0.785×0.215×〖1.96〗^2)/〖(0.01/4)〗^2 ⌋=103739.
其中⌊∙⌋表示上取整。
因此，作100000次取整，得到π的模拟值与真实值有95%的可能误差在1%以内。
2． 均值方法
平均值方法是用n次试验的平均值
（5）
作为X的期望值E(X)的近似估计值。
设有n个独立同分布的随机变量序列 ，每个随机变量的均值为µ，方差为σ^2，则
（6）
渐近地服从标准正态分布，即，当n→∞时，有
（7）
或者
. （8）
同样，若要求 ，则
， （9）
从而有
. （10）
上式即为平均值方法在给定α和ε下所需的试验次数。
在进行计算时，通常并不知道方差σ^2，一般用其估计值代替，即先作m次试验，得到方差σ^2的估计值
在得到S^2后，用S^2近似式（10）中的σ^2，则平均值方法的试验次数为
（11）
若n>m，需要补充试验。
用平均值法估计圆周率，考虑置信度为0.05，精度要求为0.01的情况下所需的试验次数。事实上，计算π/4，本质上就是用概率的方法计算积分 。
其中x_i是[0,1]区间上均匀分布的随机数。
按上式编写R程序：
MC1_2<-function(n){
x<-runif(n)
4*sum(sqrt(1-x^2))/n
}
作10万次模拟，
> source("MC1_2.R");MC1_2(100000)
[1] 3.141912
下面估计所需的试验次数，由（10）式可知，关键方法是求方差σ^2。而
此时，α=0.05，Z_(α/2)=1.96，ε=0.01/4，所以